A Física nos Parques de Diversão: Montanhas Russas

O artigo publicado pelo Professor Associado ao Departamento de Engenharia Mecânica da PUC (RJ) trata-se da física nos Parques de Diversão, dando ênfase em como funcionam as montanhas russa. Este artigo foi baseado nos artigos da Profa. Carole Escobar, publicado no “The Physics Teacher”, de outubro de 1990 e o do Prof. Jearl Walker, publicado no “Scientific American”, novembro de 1982.

Segundo o autor, o passeio começa com o trem sendo puxado até o ponto mais alto do brinquedo (que é o ponto de máxima energia potencial). Em seguida o trem é trazido de volta ao chão e ao repouso. Considerando que o trem se comporta como uma peça única, a velocidade máxima a ser alcançada, desconsiderando

atritos de toda a espécie, é determinada pelo princípio de conservação da Energia Mecânica:

ΔEpotencial = ΔEcinetica

Se a velocidade no ponto mais alto (ho), for Vo, teremos que a velocidade em um ponto (h) será dada por:

                                             V(h)² = Vo² + 2g(ho-h)

Tudo isso levando em consideração que  o atrito aerodinâmico devido ao ar e atrito ao longo dos trilhos reduzem um tanto tal valor.

O primeiro resultado interessante, consequência da análise anterior, é que a velocidade de queda independe do número de pessoas (isto é, da massa total) que estão no trem: tanto faz se o trem estiver vazio ou não, o “prazer” do passeio será o mesmo.

Como mostrado na Figura abaixo, a inclinação da pista é variável. Inicialmente ela é zero (no ponto 1), cresce até o seu valor máximo, que determina o ângulo efetivo da pista (ponto 2), tornando a decrescer até o ponto de mínimo (ponto 3). Por exemplo,se o trem está no alto da primeira colina (ponto 1 da figura 2). A velocidade (horizontal) do trem é mínima e a aceleração promovida pela queda do primeiro carro é ainda pequena, pois a inclinação local da pista é ainda pequena ( 1θ ≈0).

A aceleração será máxima quando todo o trem estiver na região central, indicada pela posição 2 da figura.  A inclinação ali é a da própria pista. Eventualmente, o primeiro carro atinge a região do ponto 3, de máxima velocidade e aceleração nula (isto é, 3θ ≈0 e a 0 ≈ ).

Você concordará certamente que em um “certo” instante, os carros estarão igualmente distribuídos ao longo da pista, no entorno do ponto 4, metade para cada lado (ou seja, alguns começando a subir e os demais terminando de descer). A aceleração ali será nula e a velocidade máxima. À medida que mais carros começam a subir a colina, a velocidade do trem começa a diminuir, alcançando sua menor velocidade no topo da mesma. Sem as perdas por atrito, o trem seria capaz de subir qualquer número de colinas de mesmo tamanho (altura) que a colina inicial. Como isto não é o caso, a solução é fazer com que as colinas seguintes sejam todas menores. Considerando que nos pontos mais altos das colinas, a velocidade é quase nula, poderemos estimar as perdas por atrito no trecho pela diferença de cotas entre os dois pontos, que é proporcional à diferença de Energia Potencial. Como as velocidades são muito pequenas, nestes pontos temos:

Em suma, podemos considerar que há dois tipos de projetos: pista rápida, sem subidas após a primeira mas cheia de curvas e quedas rápidas ou pista lenta, com subidas e descidas sucessivas, que tendem a reduzir a velocidade média. Sempre uma troca entre as energias cinética e potencial. Cinética das Rotações  Pela Primeira Lei de Newton, um objeto manterá seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, se não estiver submetido à ação de forças externas não equilibradas. Como corolário (consequência), precisamos de uma força para mudar a velocidade, seja em módulo (isto é, em valor), seja na sua direção (lembre-se que a velocidade é um vetor). Considerando novamente a Figura 3, podemos indicar que no ponto 4, o vetor velocidade é horizontal, enquanto que no ponto 5, na subida da pista, a velocidade é ascendente:

Houve assim uma alteração de velocidade (bem, pelo menos na direção, se desconsiderarmos a diferença de cota e o atrito). A força necessária para que isto ocorra é transmitida pela pista.
Imaginando uma curva, teremos que considerar a força centrípeta:

Naturalmente, para uma pista reta, o raio de curvatura é infinito, como sabemos, e com isto, a reação da pista é exatamente igual ao peso do trem (e passageiros). O mesmo conceito se aplica ao loop da montanha russa. Veja:

Como pode ser visto, a força aplicada pela pista no alto é nula mas o carro não cai, como sabemos. Pelo equilíbrio de forças, podemos escrever que:

Qual será a menor velocidade na entrada do loop para que o trem consiga completá-lo, isto é, para que ele não caia lá do alto? Vamos pensar na conservação de energia (desprezando atritos) para facilitar. No ponto de entrada do loop, de velocidade Vb, temos que a energia cinética associada vale:

 Assim,

De posse desta nova informação, poderemos calcular a força da pista sobre o trem. Embaixo, temos pelo equilíbrio das forças que:

Como a tensão provocada pela pista é maior que o peso, a força líquida resultante aponta para o centro do loop e o movimento circular se inicia. No ponto médio do loop, a tensão da pista e a aceleração centrípeta são horizontais, onde o Princípio da conservação de energia entre o ponto mais baixo do loop (de velocidade Vb) e o ponto de altura R foi utilizado. Substituindo os valores, obtemos que no ponto de cota h = R, a tensão da pista vale:

T = 3 mg

Do alto a velocidade do trem é pequena (baixa energia cinética). Ela aponta para baixo, na mesma direção do peso (ao contrário do que acontece embaixo).

Para evitar que o trem caia, há dois conjuntos de rodas, uma superior e a outra inferior.

Como foi visto, a tensão na parte de entrada no loop é muito elevada, da ordem de 6
vezes o peso (cada passageiro irá sofrer esta força mas a pista deverá estar preparada para esta solicitação). No tocante aos passageiros, esta é uma força muito elevada, que causa desconforto (se considerarmos o atrito, este valor irá diminuir mas mesmo assim, é uma força muito grande). Por outro lado, por segurança, o projeto é feito de forma que a velocidade no alto é maior que a calculada, o que só faz aumentar a força sobre os passageiros.

A solução foi usar um outro tipo de curva, não mais circular. A solução mais comum é

uma pista como a mostrada abaixo (helicoidal) que tem um raio de curvatura menor no alto que na base, o que reduz todas as velocidades (mas não ao ponto de reduzir as sensações, claro) e reduz as forças sobre os passageiros, o que foi ótimo.